На пятый день болезни отхождение мокроты после сухого кашля — это скорее хороший признак, значит бронхи начинают очищаться. В такой ситуации важно помочь мокроте разжижаться и легче выходить: пейте больше тёплой жидкости (вода, морсы, тёплый чай), увлажняйте воздух в помещении, продолжайте промывания носа солевым раствором. Из лекарств можно продолжать безрецептурный муколитик/отхаркивающее средство в таблетках, которое у вас уже есть, строго по инструкции на упаковке; ингаляции с обычным физраствором через небулайзер также хорошо увлажняют дыхательные пути и облегчают выведение мокроты.
Что касается ингаляционного гормонального препарата (Пульмикорт) — это рецептурное средство, и применять его самостоятельно, без назначения врача после осмотра, не стоит: оно показано не при любом кашле, а по конкретным показаниям (например, обструкция, свистящее дыхание). Если кашель усиливается, появляется одышка, боль в грудной клетке, повышается температура или мокрота становится гнойной/зеленоватой — это повод для очного осмотра врача и, возможно, дополнительных анализов.