По описанной картине похоже на растяжение межрёберных мышц или межрёберную невралгию, возникшую из-за интенсивного кашля — такая боль действительно может быть острой, усиливаться при надавливании, глубоком вдохе и напряжении, но сама по себе не опасна для лёгких или сердца. Антибиотик в вашей ситуации не нужен: температуры нет, самочувствие в целом нормальное, а азитромицин применяется при бактериальных инфекциях, а не для устранения остаточного влажного кашля после перенесённой простуды.
Для облегчения боли можно кратковременно использовать безрецептурное нестероидное противовоспалительное средство в виде таблеток или геля для местного применения на область боли, соблюдая инструкцию по применению. Также помогает временное ограничение физической нагрузки на грудную клетку, сухое тепло на область боли и удобное положение при сне. Для облегчения отхождения мокроты подойдут тёплое питьё, увлажнение воздуха и, при необходимости, безрецептурный муколитик или отхаркивающее средство.
Если боль нарастает, появляется одышка, температура, отёк или покраснение в области ребра, боль не проходит больше недели или мокрота становится гнойной — обязательно обратитесь очно к врачу для осмотра и, возможно, рентгена грудной клетки, чтобы исключить другие причины.